Page 4 - 직교좌표-극좌표

< 그림 4 > 3차원 극좌표

아래의 그림에서와 같이 3차원 극좌표를 간단하게 정의할 수 있다. 공간에
위치한 점 P를 x-y 평면 위에 수직 하방으로 직선을 내려서 만난점을 P'라
한다. 이 때 OP는 r이고, 직선 OP와 OP'가 이루는 각도는 θ이고, 직선 OP와
x축과 이루는 각도는 φ가 된다. 점 P의 위치는 간단하게 P( r, θ, φ )로 정
의 된다.

3차원 극좌표는 우리 생활과 밀접하게 적용되어 사용한다. 지구상 위도와
경도도 이와 같은 극좌표 형태로 표시한다. 특히 천문학에서 천구상에 있는
천체의 위치를 표시하거나 운동하고 있는 천체를 표시할 때 거의 3차원 극좌
표로만 사용하게 된다. 특히 물리학에서는 원자핵 주위를 운동하는 있는 전자
의 운동 상태는 직교좌표로는 물리적인 해석을 할 수 없다. 다만 삼차원 극좌
표로 표현해야만 운동 방정식의 해석이 가능하다. 따라서 과학적 현상을 설명

할 때 삼차원 극좌표를 일반화하여 사용하고 있다.

(3) 직교좌표와 극좌표와의 관계

① 2차원 좌표 : ( x, y ) ⇆ ( r, θ )
2차원 직교좌표와 극좌표와의 관계는 아래와 같이 간단한 관계로 표시할 수 있
다. 얼마든지 직교좌표의 (x, y)를 극좌표의 ( r, θ )로 환산할 수 있다.

< 표 1 > 2차원 직교좌표와 극좌표와의 관계

직교좌표 극좌표
2
2
x = r cosθ r = √(x + y )
-1
y = r sinθ θ= tan (y/x)

② 3차원 좌표 : ( x, y, z ) ⇆ ( r, θ, φ )
3차원 공간좌표에서 직교좌표와 극좌표와의 관계는 다소 복잡하게 느껴지지만 간
단한 관계를 갖고 있다. 즉 필요에 따라 직교좌표의 ( x. y. z )는 극좌표의 ( r, θ,
φ )로 아래와 같이 환산할 수 있다. 다만 극좌표의 각도를 환산할 때 분면(상한)을
잘 고려해야 한다.

x = r cosθ cosφ
y = r cosθ sinφ
z = r sinθ

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